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约9070字。

　　2012年全国各地中考数学压轴题精选（解析版11－－20）
　　11．（2012•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
　　（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
　　（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
　　（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
　　解题思路： （1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；
　　（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；
　　（3）分别从当0≤t≤ 时，当 ＜t≤2时，当2＜t≤ 时，当 ＜t≤4时去分析求解即可求得答案．
　　解答： 解：（1）如图①，
　　设正方形BEFG的边长为x，
　　则BE=FG=BG=x，
　　∵AB=3，BC=6，
　　∴AG=AB﹣BG=3﹣x，
　　∵GF∥BE，
　　∴△AGF∽△ABC，
　　∴ ，
　　即 ，
　　解得：x=2，
　　即BE=2；
　　（2）存在满足条件的t，
　　理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，
　　则BH=AD=2，DH=AB=3，
　　由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，
　　∵EF∥AB，
　　∴△MEC∽△ABC，
　　∴ ，即 ，
　　∴ME=2﹣ t，
　　在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣ t）2= t2﹣2t+8，
　　在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，
　　过点M作MN⊥DH于N，
　　则MN=HE=t，NH=ME=2﹣ t，
　　∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣ t）= t+1，
　　在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2= t2+t+1，
　　（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，
　　即 t2+t+1=（ t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），
　　解得：t= ，
　　（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，
　　即t2﹣4t+13=（ t2﹣2t+8）+（ t2+t+1），
　　解得：t1=﹣3+ ，t2=﹣3﹣ （舍去），
　　∴t=﹣3+ ；
　　（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，
　　即： t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（ t2+t+1），
　　此方程无解，
　　综上所述，当t= 或﹣3+ 时，△B′DM是直角三角形；
　　（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
　　即2：3=CE：4，
　　∴CE= ，
　　∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣ = ，
　　∵ME=2﹣ t，
　　∴FM= t，
　　当0≤t≤ 时，S=S△FMN= ×t× t= t2，
　　②当G在AC上时，t=2，
　　∵EK=EC•tan∠DCB=EC• = （4﹣t）=3﹣ t，
　　∴FK=2﹣EK= t﹣1，
　　∵NL= AD= ，
　　∴FL=t﹣ ，
　　∴当 ＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL= t2﹣ （t﹣ ）（ t﹣1）=﹣ t2+t﹣ ；
　　③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
　　即B′C：4=2：3，
　　解得：B′C= ，
　　∴EC=4﹣t=B′C﹣2= ，
　　∴t= ，
　　∵B′N= B′C= （6﹣t）=3﹣ t，
　　∵GN=GB′﹣B′N= t﹣1，
　　∴当2＜t≤ 时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL= ×2×（ t﹣1+ t）﹣ （t﹣ ）（ t﹣1）=﹣ t2+2t﹣ ，
　　④如图⑥，当 ＜t≤4时，
　　∵B′L= B′C= （6﹣t），EK= EC= （4﹣t），B′N= B′C= （6﹣t）EM= EC= （4﹣t），
　　S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣ t+ ．
　　综上所述：
　　当0≤t≤ 时，S= t2，
　　当 ＜t≤2时，S=﹣ t2+t﹣ ；
　　当2＜t≤ 时，S=﹣ t2+2t﹣ ，
　　当 ＜t≤4时，S=﹣ t+ ．