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约8820字。

　　2012年全国各地中考数学压轴题精选（解析版1－－10）
　　1．（2012•菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．
　　（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
　　（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
　　（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．
　　解题思路： （1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
　　（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；
　　（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．
　　解答： 解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，
　　又A（0，1），B（2，0），O（0，0），
　　∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
　　设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），
　　∵抛物线经过点A′、B′、B，
　　∴ ，
　　解得： ，
　　∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
　　（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，
　　设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．
　　连接PB，PO，PB′，
　　∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，
　　= ×1×2+ ×2×x+ ×2×y，
　　=x+（﹣x2+x+2）+1，
　　=﹣x2+2x+3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
　　假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则
　　4=﹣x2+2x+3，
　　即x2﹣2x+1=0，
　　解得：x1=x2=1，
　　此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
　　∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
　　（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．
　　①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；
　　③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
　　或用符号表示：
　　①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
　　2．（2012•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
　　（1）求二次函数的解析式；
　　（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
　　（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
　　①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
　　②若⊙M的半径为 ，求点M的坐标．
　　解题思路： （1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，利设出两点法解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；
　　（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；
　　（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是﹣2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；
　　②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标．
　　解答： 解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
　　将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），
　　解得a=1，
　　∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），
　　即y=x2﹣x﹣2；
　　（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，
　　在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
　　解得，x= ，
　　即OP= ；
　　（3）①∵△CHM∽△AOC，
　　∴∠MCH=∠CAO，
　　（i）如图1，当H在点C下方时，
　　∵∠MCH=∠CAO，
　　∴CM∥x轴，
　　∴yM=﹣2，
　　∴x2﹣x﹣2=﹣2，
　　解得x1=0（舍去），x2=1，
　　∴M（1，﹣2），
　　（ii）如图1，当H在点C上方时，
　　∵∠MCH=∠CAO，
　　∴PA=PC，由（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点，
　　设直线CM的解析式为y=kx﹣2，
　　把P（ ，0）的坐标代入，得 k﹣2=0，
　　解得k= ，
　　∴y= x﹣2，
　　由 x﹣2=x2﹣x﹣2，
　　解得x1=0（舍去），x2= ，
　　此时y= × ﹣2= ，
　　∴M′（ ， ），
　　②在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DE⊥AC于点E，使DE= ，
　　在Rt△AOC中，AC= = = ，
　　∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
　　∴△AED∽△AOC，
　　∴ = ，
　　即 = ，
　　解得AD=2，
　　∴D（1，0）或D（﹣3，0）．
　　过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图（备用图）
　　则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6，
　　当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，
　　当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得x1= ，x2= ，
　　∴点M的坐标为（ ，3+ ）或（ ，3﹣ ）．